3.4. Funciones racionales

Vamos en este apartado a aplicar todo lo que hemos estudiado hasta ahora sobre representación de funciones a las funciones racionales. Veremos que con poco esfuerzo podremos trazar, de una manera aproximada y relativamente fácil, la gráfica de una función.

El proceso general consiste en:

  1. Raíces. Debemos igualar a 0 el numerador y resolver la ecuación.
  2. Asíntotas verticales. Igualaremos el denominador a 0 y resolveremos la ecuación. Si el numerador y denominador tienen alguna raíz común, se debe simplificar la fracción para determinar el límite de la función en ese punto. La asíntota vertical existirá si la multiplicidad de la raíz es mayor en el denominador que en el denominador.
  3. Asíntotas horizontales: se deben calcular los límites de la función cuando x tiende a -∞ o +∞.
  4. Regionamiento. Descartar las regiones del plano por las que no puede pasar la función. Para ello tomaremos al menos un valor del interior de un intervalo en que ha quedado dividida la recta real por las raíces y asíntotas. Después, a partir de la multiplicidad de cada factor descartaremos las regiones adyacentes.
  5. Trazado en las raíces. De acuerdo con la multiplicidad de las raíces, dibujaremos en el entorno de éstas un pequeño fragmento de la gráfica para saber cómo corta (o no) al eje OX.
  6. Puntos adicionales. Se puede completar el estudio tomando valores de la función para algunos valores concretos.
  7. Con todo lo anterior, trazado de la curva.

Este proceso es bastante fácil de llevar a cabo con un poco de práctica. Estudia los ejemplos que siguen y practica por tu cuenta con los ejercicios propuestos. Utiliza el applet para familiarizarte con algunas funciones y, luego, sólo para ver si la solución era correcta. Aunque al principio te parecerá complicado, después lograrás dibujar gráficas de funciones con un esfuerzo mínimo.

IMPORTANTE: Para utilizar el applet desmarca las casillas de raíces, asíntotas, Regiones y gráfica f(x), haz clic en "Definir f(x)", define la función introduciendo con los deslizadores las raíces del numerador y denominador (x1, x2 , x3, x4) con sus multiplicidades (m, n, p, q) y el coeficiente a, luego, desmarca de nuevo "Definir f(x)" y opera de abajo hacia arriba: Raíces,... hasta llegar a la gráfica.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Estudia y representa la función .

(Esta función es la que te presentamos de inicio en el siguiente applet. Si probando haces algún cambio, no dudes en "reiniciar" el applet con el icono de la parte superior derecha)

Lo normal es que nos den una función sin estar descompuestos numerador y denominador. En este ejercicio ya lo están.

Raíces: Son 1 y 3 simples.

Asíntotas verticales: x=0 y x=2 con exponentes impares (lo que se podría llamar "simples"). Conviene dibujar una línea a trazos que se vea bien.

Regionamiento. Debemos considerar los intervalos (-∞,0), (0,1), (1,2), (2,3) y (3,+∞). Para hallar el signo, tomaremos x=-1, la función es:. Luego en (-∞,0) la función es positiva, y como todas las raíces y asíntotas son simples, habrá cambio de signo en todas ellas. Sombreamos alternadamente las regiones obtenidas anteriormente.

Ahora podemos determinar los límites laterales en las asíntotas (las regiones nos impiden la duda) y un trozo de curva en los pasos de las raíces.

Asíntota horizontal: la función es , como numerador y denominador tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal y su ecuación es .

Ahora unimos los segmentos que tenemos esbozados y obtenemos una aproximación a la gráfica.

Nota: En la última parte podríamos dudar entre dibujar la curva por debajo de la asíntota o por encima. Realmente, se podría ampliar el estudio como lo haremos en el tema 5, pero, de momento, basta con decir que las funciones racionales son bastante "normales", y si los exponentes de los factores son 1, la gráfica suele ir por el camino más sencillo. No obstante, en este ejemplo se podría deducir fácilmente que cuando la función se acerca por debajo a la asíntota, ya que (x-1)<x y (x-3)<(x-2) para valores de x>1, luego (no siempre es tan sencillo como en este caso).


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Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Estudia y representa .

Utiliza el applet para definir esta función. Al igual que en el ejemplo anterior:

Raíces: 1 simple.

Asíntotas verticales: x=0 "doble" y x=2 "simple".

Regionamiento: Consideramos los intervalos (-∞, 0), (0,1), (1,2) y (2,+∞). Tomamos x=3 (podría servir cualquier otro que no fuera 0, 1 o 2 ) obten¡endo y=2/9>0. Sombreamos las regiones adyacentes teniendo en cuenta la multiplicidad  de (x-1), x y (x-2).

Trazamos los límites laterales de las asíntotas verticales y el paso de la curva por la raíz x=1 (las regiones nos fuerzan a no poder dudar).

Con todos los datos anteriores completamos la gráfica.

(Ver la solución en el applet).


Icono de IDevice de pregunta AV - Pregunta de Elección Múltiple
La función :
  
No tiene asíntotas verticales.
La asíntota horizontal es la recta y=2.
Cambia de signo en 0 y en 1.
La recta y=0 es asíntota horizontal.

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