Funciones polinómicas

En el tema 5 de la Unidad I (resolución de inecuaciones) vimos que la determinación de las raíces de un polinomio nos ayuda mucho para saber si una función polinómica es positiva o negativa en un determinado intervalo.

Vamos a ver que es la multiplicidad de las raíces lo que en realidad determina si la función cambia o no de signo al pasar de tomar valores que están a la izquierda de la raíz a valores que están a su derecha. Sea x₁ una raíz de una función polinómica f(x). Consideremos en primer lugar que la función es de la forma f(x)=(x-x₁)ⁿ.

(a) Si n es impar: si x<x₁ , x-x₁<0, y (x-x₁)ⁿ<0; en cambio si x>x₁, x-x₁>0, luego (x-x₁)ⁿ>0. Así, la función cambia de signo al pasar por x₁.

(b) Si n es par: tanto si la base es negativa como positiva, la potencia nunca será negativa, luego no cambiará el signo.

En el caso general, la función se podrá expresar como f(x)=q(x)·(x-x₁)ⁿ , con q(x₁)≠0, entonces habrá un entorno suficientemente pequeño de x₁ donde q(x) no tenga ninguna raíz (si x₂ es la raíz de q(x) más cercana a x₁, bastaría considerar un entorno de radio la mitad de la distancia de x₁ a x₂). En éste, q(x) tendrá el mismo signo, y será n quien determine el cambio o no de signo según las consideraciones anteriores.

En el siguiente applet puedes visualizar lo que acabamos de decir. Fíjate en que, además del cambio de signo, la multiplicidad nos indica la forma en que la gráfica de la función corta o toca al eje OX: a mayor multiplicidad de la raíz, la curva se pega cada vez más al eje. Esto nos ayudará bastante a dibujar la gráfica.

Lo dicho para funciones polinómicas sirve también para las funciones racionales con las siguientes matizaciones.

• Si x₁ es raíz del numerador pero no del denominador, x₁ es raíz de la función y se aplica todo lo anterior.
• Si x₁ es raíz del denominador pero no del numerador, la recta x=x₁ es una asíntota vertical de la función. Debemos tener en cuenta que si la multiplicidad (el exponente del factor (x-x₁)ⁿ en el denominador) es impar habrá un cambio de signo, y no lo habrá si es par.
• Por último, si x₁ fuera raíz tanto del numerador como del denominador (caso muy infrecuente), no formaría parte del dominio de la función, por lo que no es raíz, y debemos determinar si hay o no asíntota. Si al descomponer en producto de factores el numerador y denominador nos queda: , con , y m<n, la función tiene una asíntota en x=x₁, en caso contrario no, y la gráfica tendrá un "hueco" en el punto de abscisa x=x₁ (si m>n el hueco estará sobre el eje OX, es decir sería como una raíz pero sin punto; y si m=n el punto estará fuera del eje).

Entenderemos mejor lo anterior con unos ejemplos.