3. La distribución binomial
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| 9. Cara o cruz. Creative Commons |
Cuando una experiencia aleatoria, como el lanzamiento de una moneda, tiene sólo dos posibles resultados la denominamos experiencia de Bernoulli: a uno de los resultados posibles lo denominaremos "éxito" y al otro "fracaso". Es posible simbolizarlos de muchas maneras, pero una de las más comodas es designar como 0 el fracaso y como 1 el éxito.
La repetición de una experiencia de Bernoulli n veces, da origen a un tipo especial de distribución discreta de probabilidad: la distribución binomial. El espacio muestral de esta experiencia lo constituyen las sucesiones de ceros y unos de longitud n. Podemos definir una variable aleatoria, X, que asigna a cada una de estas sucesiones el número de éxitos.
Si la probabilidad de éxito en la experiencia de Bernoulli es p, evidentemente la de fracaso es 1-p. La probabilidad de que en una serie de n ensayos independientes se produzcan k éxitos es: pk·(1-p)n-k.
Como ya hemos visto en el estudio de los sucesos independientes, esta probabilidad no depende del orden en que se hayan producido los éxitos y fracasos. La probabilidad total de que ocurra ese número concreto de éxitos será el producto del número de maneras distintas de formar una sucesión con exactamente k unos y n-k ceros, por la probabilidad de que ocurra una de ellas en concreto.
Como vimos en la primera unidad, este número son las permutaciones con repetición de ceros y unos donde el primero se repite k veces y el segundo n-k veces. También lo podemos ver como el número de combinaciones de k lugares de entre los n lugares posibles en que podemos colocar los unos. En cualquier caso, tenemos que:
Importante
LLamaremos experiencia de Bernoulli a toda aquella en la que sólo son posibles dos resultados —éxito y fracaso— y en las que la probabilidad de éxito es siempre la misma, no variando si se repite el experimento.
Una variable aleatoria que corresponda con la experiencia de contar el número de éxitos cuando se repite n veces una experiencia de Bernouilli, cuya probabilidad de éxito es p, diremos que es la variable de una distribución binomial. A esa distribución la denotaremos como B(n; p).
La función de probabilidad de la distribución binomial B(n;p) es:
Ejemplo o ejercicio resuelto
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| 10. Dardos. Creative Commons |
- ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente cuatro de ellos?
- ¿Y de que los acierte todos?
- ¿Y de que los falle todos?
La experiencia se puede interpretar mediante la distribución binomial B(5; 0,8).
Entonces las respuestas a estas tres cuestiones se corresponden con la probabilidad de que la variable aleatoria alcance los valores 4, 5 y 0 respectivamente:
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| 11. Alarma. Creative Commons |
Una empresa de seguridad coloca cuatro alarmas independientes que funcionan correctamente en el 90% de las ocasiones que es necesario. En una situación de peligro, cuál es la probabilidad de que:
- no suene ninguna de las cuatro,
- suene alguna de las cuatro.
La situación corresponde a la distribución binomial B(4; 0,9).
La contestación a estas cuestiones es:
- En este caso hay que calcular la probabilidad de que suene sólo 1, o sólo 2, o sólo 3 o las 4 alarmas. Pero evidentemente este suceso es el contrario del que acabamos de estudiar, es decir, de que no suene ninguna de las alarma. Usaremos las propiedades de la probabilidad del suceso contrario.
Por ello
AV - Pregunta Verdadero-FalsoVerdadero Falso
Verdadero Falso
Verdadero Falso
