2. Ley de Gravitación Universal
 |
|
Imagen 12.Gerodfrey Knell.
Dominio público |
 |
|
Imagen 13.Isaac Newton. |
Isaac Newton basándose en los Leyes de Kepler formuló su "Ley de Gravitación Universal" en 1666 y fue publicada en su monumental trabajo "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" en 1687.
Además de los trabajos de Copernico, Ticho Brahe o Kepler, tendentes al estudio del movimiento de los astros, Galileo había estudiado el movimiento de caída de los cuerpos y la trayectoria de los proyectiles. Newton se planteó cómo relacionar estos dos movimientos y para ello imaginó que lanzaba proyectiles desde lo alto de una montaña horizontalmente, cada vez con mayor velocidad. El alcance era cada vez mayor, pero llegaba un valor para el cual el proyectil no chocaba con la Tierra, sino que continuaba girando alrededor de la misma.
Newton concluyó que la Luna cae hacia la Tierra, como el proyectil, debido a la fuerza que sobre ella ejerce la Tierra, que está dirigida hacia el centro de la misma. Es decir, la misma causa produce los movimientos terrestres y los celestes.
Para llegar a establecer la ley de Gravitación Universal, Newton tubo que admitir la existencia de una fuerza (fuerza gravitatoria) que actúa sobre cada planeta y que les obliga a girar alrededor del Sol. Pero también, que la fuerza gravitatoria actúa sobre todos los cuerpos y que la dirección de la fuerza es central, es decir, las direcciones de las fuerzas de interacción entre el Sol y los planetas converge en un punto.
Actividad
 |
| Imagen 14. Elaboración propia |
La ley de Gravitación Universal puede enunciarse:
Dos partículas cualesquiera de
masas 
y 
, situadas una en presencia de otra, interaccionan
gravitacionalmente mediante una fuerza dada por:
siendo 
el vector que fija lo
posición de la partícula 1 respecto de la 2 y 
el vector unitario en esa dirección y sentido. 
es la constante de gravitación universal.
La ley de Gravitación Universal no es una ecuación de definición de ninguna de las magnitudes físicas contenidas en ella. Es una ley de fuerzas que relaciona la interacción entre partículas con propiedades medibles de ellas.
 |
| Imagen 15. Henry Cavendish. Dominio público. |
El signo menos de la ecuación indica que la fuerza es atractiva. Las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las dos partículas, 
, son fuerzas de acción y reacción.
Las masas y son dos masas puntuales, pero la ley es también válida para masas esféricas. En este caso la distancia r entre ellas es la distancia entre los centros de las esferas. Newton tardó veinte años en publicar la Ley hasta que consiguió demostrar que era válida para masas esféricas (los planetas son esféricos). En este tiempo, desarrolló el cálculo diferencial e integral.
La constante es una constante universal, siempre tiene el mismo valor. Este valor fue calculado por Newton de forma aproximada, estimando un valor para la masa de la Tierra.
En 1798, Henry Cavendish la calculó con gran exactitud utilizando una balanza de torsión. Su valor es:
6,67 · 10-11 N·m2/kg2
Este pequeño valor de determina que las fuerzas gravitatorias entre cuerpos poco masivos sean difíciles de detectar. Sin embargo, cuando los cuerpos son muy masivos, como las estrellas, los planetas o cualquier otro cuerpo celeste adquiere tal importancia que determina la estructura del sistema solar y de todo el Universo.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Objetivos
De las leyes de Kepler a la ley de gravitación universal
 |
| Imagen 16. Elaboración propia |
De manera simplificada podemos aproximarnos al método de Newton para establecer la ley de Gravitación universal, considerando que lo órbita de un planeta es circular (caso particular de una elipse en el que los dos focos coinciden con el centro). En este caso la fuerza centrípeta del movimiento circular vendrá dada por:
y sustituyendo 
por su valor en función del período 
tenemos
pero la tercera ley de Kepler en el caso particular de una órbita
circular es: 
, luego
es decir, la interacción gravitacional debe ser central e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Generalizando los resultados anteriores a la
atracción entre dos partículas cualesquiera y , podremos escribir en forma vectorial:
y como por la ley de acción y reacción 
resulta:
→ 
con lo que
que es la expresión de la ley de Gravitación Universal.
En el tercer tema de esta unidad volverás a esto.
AV - Reflexión
 |
| Imagen 17. Elaboración propia |
La fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna es 1,9·1020 N. Si la masa de la Tierra es 5,98·1024 kg y la de la Luna 7,2·1022 kg, ¿cuál es la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna?
Dato: G= 6,67·10-11 N·m2/kg2
y despejando:
