3.2. Potencias en forma polar
Calcular potencias, cuando el exponente es un número entero positivo, consiste simplemente en hacer u multiplicación en la que hay tantos factores iguales a la base como indica el exponente. Hemos visto cómo hacerlo con números complejos cuando están dados en forma binómica. Si trabajamos en forma polar el cálculo se simplifica notablemente.
En efecto, si z = rα, y el exponente es un numero natural n, entonces:
De acuerdo con la definición habitual de las potencias de exponente negativo, tendremos que:
Importante
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A. de Moivre con licencia Wikipedia Commons |
Si escribimos esta igualdad en forma trigonométrica obtenemos lo que se denomina fórmula de Moivre:
Ejemplo o ejercicio resuelto
En un tema anterior hemos obtenido las fórmulas de sen2α y cos2α. Ahora vamos a obtener las fórmulas de sen3α y cos3α. Para ello calcularemos:
- Desarrollando de acuerdo al binomio de Newton y simplificando:
- Aplicando la fórmula de Moivre:
Como los dos números complejosque resultan deben ser iguales, su parte real y su parte imaginaria deben se las mismas. De ahí salen las fórmulas:
Trata de expresar la fórmulas de sen3α en función de de senα y la de cos3α en función de cosα.
sustituyendo en las dos fórmulas, tendremos que:
AV - Reflexión
Calcula las siguientes potencias en forma polar y expresa el resultado también en forma binómica:
a) 
; b) 
; b) 
