Límites finitos en el infinito

Fíjate en el applet siguiente, en él aparece la función . Vamos a estudiar qué pasa con esta función cuando la variable (la x) se hace "tan grande como queramos", que es la forma matemática de decir que "tiende a +∞". En ésta hemos cambiado la escala de los ejes para poder ver la tendencia de la función.

Sabemos que la función es decreciente (de forma estricta) y se hace tan pequeña como se quiera. Por ejemplo, si queremos que la función sea menor que 0'000001, bastará con tomar para x un valor superior a 1.000.000, y así con cualquier cantidad, por pequeña que sea. El hecho de que cuanto mayor sea la variable la función se acerque cada vez más a 0 y tanto como queramos (aunque no llegue a alcanzar dicho valor) nos indica que el límite de la función cuando la variable tiende a +∞, es 0. La forma matemática de indicar todo ésto de forma breve es:.

El razonamiento que acabamos de hacer es válido, pero no es una demostración. Para asegurarnos que la función se acerca "tanto como queramos" no basta con coger una cantidad muy pequeña, sino que el razonamiento debe servir para toda cantidad, por pequeña que ésta sea.

Por lo tanto, debemos considerar para esta aproximación una variable, que se suele representar por la letra griega ε. Dada esta cantidad (pequeña) el hecho de que la función "tiende" a 0 se puede traducir diciendo que, a partir de cierto momento, los valores que toma la función distan de 0 menos de esa cantidad. O sea, debe haber cierto número K tal que si x>K entonces la distancia de f(x) a 0 es menor que la cantidad inicial considerada (ε).

Todo lo anterior se puede condensar así:

O sea: dado un entorno del límite (en este caso 0), que vendrá dado por ε, existe un "entorno" de +∞ (que viene dado por el intervalo (K,+∞)) tal que todos los puntos de este intervalo tienen su imagen en el entorno del límite.

En la gráfica esto se refleja dando, en primer lugar, un valor de ε, para el cual existe un valor K tal que si x>K su imagen dista de 0 menos que ε, o sea, la gráfica de la función, a partir de K, queda "atrapada" dentro del rectángulo rosa, aunque éste sea muy estrecho.

Intenta entender lo anterior con el deslizador ε (verás que el entorno de 0, en verde, se puede hacer muy pequeño) y que, a partir del número K (que depende del valor que tome ε), los valores que toma la función para la variable x (mueve el deslizador x) están dentro del entorno.

 

Mueve ahora los deslizadores a₁ y a₂ para obtener una función tal que y se acerque a 2 "desde abajo" (será creciente si x>0). Fíjate en los valores que toma K para un ε considerado.

Nota. La línea a trazos indicaría la ordenada del límite. Normalmente trabajamos con funciones que son, a trozos, crecientes o decrecientes, por lo que la función no suele "cortar" dicha recta, pero no tiene por qué, por ejemplo, en el tema anterior vimos que y esta función cruza el eje OX infinitas veces en su aproximación a 0.

Límites infinitos en el infinito

 

De igual manera se podrían tratar las funciones que se hacen tan grandes como queramos cuando x tiende a ∞, es decir: . En este caso habría que considerar un entorno tanto del límite (∞) como del "punto" al que tiende la variable (otra vez ∞). Por lo que hemos dicho más arriba, el concepto se podría expresar:

En este caso se tendrían varias posibilidades con el infinito que no vamos a tratar. No obstante, con el siguiente apartado nos podremos formar una idea más clara sobre este concepto ciertamente complejo.

Cálculo de límites cuando

Las funciones con que más solemos trabajar son, en general, las polinómicas y las racionales. La determinación y el cálculo de límites puede complicarse en el aspecto formal, pero, en cambio, el cálculo de los límites de estas funciones es muchísimo más sencillo, debido a que son funciones continuas (a trozos) y a que en una función polinómica, cuando el valor de la variable es suficientemente grande, el término de mayor grado aumenta muchísimo más que todos los demás juntos, por lo que este término es quien realmente decide cuánto valdrá el límite. Así:, debiéndose especificar el signo del límite en función de las circunstancias.

Por la misma razón, si xⁿ se hace tan grande como se quiera, su inverso será tan pequeño como se quiera, por lo que .

Si dos funciones f(x), g(x) tienen límites cuando entonces el límite de la suma (o del producto) es igual a la suma (producto) de los límites. Y si el límite de g(x) es distinto de 0, se puede decir lo mismo con el cociente f(x)/g(x).

Combinando todo lo anterior, el límite de una función racional se puede calcular dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador, como en este ejemplo:

La siguiente propiedad, que no demostramos, resume el cálculo de límites de funciones racionales, con la que se deduce inmediatamente cuál es el límite. No obstante, es conveniente que, de momento, calcules los límites como acabamos de hacer.

Para se obtienen resultados "equivalentes" con algún pequeño detalle que los diferencia, como en este ejemplo: , pues el numerador es negativo y el denominador positivo (para valores negativos grandes, en valor absoluto, de x).

En cambio: , pues tanto numerador como denominador son positivos (potencias pares).

Cebra. Icono de la aplicación Geogebra (Creative Commons)