7. Teorema de Bayes.
En el apartado 5 estudiábamos una experiencia aleatoria en la que , según el resultado en el lanzamiento de una moneda, extraíamos una bola de una urna (I) con 5 bolas rojas y 3 azules o de otra urna (II) con 2 rojas y 4 azules.
Ahora vamos a analizar el problema desde otra perspectiva: sabiendo el resultado de esta experiencia compuesta de dos pruebas, nos preguntamos qué ha ocurrido en la primera de ellas. Por ejemplo:
"Sabemos que ha salido roja, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar la moneda haya salido cara?"
Al lanzar la moneda había, a priori, probabilidad 1/2 de obtener cada uno de los resultados. Sin embargo, si sabemos que la bola extraída ha sido roja, tenemos una cierta información acerca del resultado de la moneda: si la bola ha sido roja parece más probable que provenga de la urna I y , por tanto, que haya salido cara en el lanzamiento de la moneda.
Así pues, deben reasignarse las probabilidades a los sucesos C y X, asignándoles probabilidades a posteriori, que tienen el carácter de probabilidades condicionadas P(C|R) y P(X|R):
Observa que en el denominador tenemos la probabilidad total de obtener roja P(R).
Análogamente podemos calcular:
y comprobar que P(C|R) + P(X|R) = 1.
El método para calcular las probabiliddes a posteriori es la llamada Fórmula de Bayes o:
Importante
Teorema de Bayes
Si A1, A2, ..., An es una familia de sucesos incompatibles dos a dos y tales que A1U A2 U ... U An = E, entonces, para cualquier suceso S se cumple que:
y, sutituyendo la probabilidad total P(S):
Ejemplo o ejercicio resuelto
Retomemos el ejemplo del análisis clínico que hemos estudiado en el apartado anterior.
Si el análisis clínico ha dado positivo (SÍ), las probabilidades de que el paciente padezca cada una de las enfermedades son:
Y la probabilidad de que el paciente no esté realmente afectado por ninguna de las enfermedades es
Así, mientras en el conjunto de la población las tres enfermedades se presentan con frecuencias 3%, 2% y 1% respectivamente, entre los individuos que dan positivo en el análisis tales frecuencias se transforman en 45,2%, 32,6% y 13,8% respectivamente. De igual forma, la proporción de sanos es 94% en el conjunto de la población, pero sólo del 8,3% entre los que dan positivo en el análisis.
AV - Reflexión
¿Recuerdas el problema del gato y el ratón? Lo hemos analizado en el apartado anterior.
Si el gato ha cazado al ratón , ¿En cuál de los tres caminos es más probable que lo haya cazado?
AV - Reflexión
En un concurso televisivo el premio para el finalista es un coche. Para obtenerlo, el concursante debe escoger, con los ojos vendados, entre tres llaveros A, B y C. El primero tiene 5 llaves idénticas, el segundo 7 y el tercero 8, de las que solo una de cada llavero abre la puerta del coche.
Ya sin la venda, escoge una de las llaves para intentar abrir el coche.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el concursante gane el coche?
b) Si ha ganado el coche, ¿cuál es la probabilidad de que la llave pertenezca al llavero A?
