2.1. Sistemas equivalentes

Casa en edificación
Las matemáticas tienen una estructura que es muy similar a muchos aspectos del mundo que nos rodea. Para poder dar un paso es necesario haber dado el paso previo. Por ejemplo, la construcción de las pirámides no pudo hacerse empezando por el vértice superior, ya que para construir un nivel era necesario tener construido el nivel inferior. Eso mismo ocurre hoy en día, para construir un piso de una casa debemos tener construido el piso inferior, si no todo se viene abajo.
Pues bien, empezaremos recordando los métodos de resolución de sistema de ecuaciones que viste en Secundaria, aplicables a los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Existen tres métodos: Reducción, Sustitución e Igualación. Si quieres repasarlos más exhaustivamente puedes ir al enlace siguiente:
 
En la siguiente escena de Descartes tomada de los materiales EDAD, desarrollados por el Ministerio de Educación, aparece explicado paso a paso el Método de Reducción, que es el que se generaliza para resolver todo tipo de sistemas y no sólo los de dos ecuaciones con dos incógnitas. Pulsa en el botón de siguiente paso para ver como se resuelve el sistema.
Los menús desplegables que aparecen en la escena te permiten elegir entre eliminar una incógnita o la otra y sustituir al final en una ecuación o en la otra. Pruébalos para ver que el proceso es siempre el mismo.

 

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

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La empresa de transportes "El Gusanito Veloz", especializada en transporte infantil y juvenil, tiene varios grupos de clientes fijos para los que realiza excursiones a distintos lugares. El nuevo gerente quiere saber la cantidad fija de personas que componen esos grupos, pero al revisar los datos sólo tiene los resultados globales.
 
En concreto, trabaja con un club que tiene un grupo de futbol y otro de baloncesto. Siempre que viaja cada grupo lleva el mismo número de personas, entre jugadores, encargados y acompañantes. Sabe que el mes pasado hizo tres viajes con el grupo de futbol y dos con el de baloncesto y en total llevó a 141 personas. Hace dos meses realizó para el primer grupo dos viajes y para el de baloncesto cuatro, desplazando en total a 142.
Si llamamos x al número de personas que viajan en el grupo de futbol e y al de personas del grupo de baloncesto, completa el siguiente sistema:

x+ y=

x+ y=

Resuelve el sistema por el método de reducción e indica el número de personas de cada grupo:

x = el grupo de futbol tiene personas

y = el grupo de baloncesto se compone de personas.

  

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Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones, es decir, todas las soluciones del primer sistema lo son del segundo y viceversa.

Las propiedades que permiten convertir un sistema de ecuaciones en otro equivalente las estudiamos en el curos pasado. Son muy parecidas a las que hemos utilizado para aplicar el método de Gauss en los temas anteriores:

  1. Cambiar el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas.
  2. Multiplicar o dividir los dos miembros de alguna de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero.
  3. Sustituir una ecuación por otra que resulte de hacer una combinación lineal de la ecuación sustituida y otras ecuaciones del sistema.

Si no las recuerdas o quieres repasarlas puedes hacerlo en el siguiente enlace.

Sistemas equivalentes


Las operaciones que convierten un sistema en otro equivalente nos permiten generalizar el método de reducción a sistemas con más de dos ecuaciones y más de dos incógnitas. La idea es tratar de ir consiguiendo sistemas equivalentes al inicial en los que cada ecuación tenga al menos una incógnita menos que el anterior.
Observa el siguiente ejemplo en el que usamos las tres propiedades para resolverlo. Indicamos entre dos sistemas equivalentes las operaciones que producen la transformación:
El sistema equivalente al que hemos llegado es fácil de resolver "de abajo arriba", es decir:
  • Resolvemos primero la última ecuación y nos da z = –1;
  • Sustituimos el valor en la anterior: 2y + 3·(–1) = –3 y al resolver tenemos que y = 0;
  • Por último sustituimos los dos valores obtenidos haasta ahora en la primera ecuación para obtener la última incógnita: x + 0 – (–1) = 1, de donde sale que x = 0.
Luego (0, 0, –1) es la solución a este sistema.
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Llamaremos Sistema Escalonado a todo sistema de ecuaciones lineales en el que cada ecuación tenga al menos una incógnita menos que el anterior.

Si el sistema es escalonado pueden ocurrir tres cosas:

  1. Que en el sistema queden igual número de ecuaciones que de incógnitas. Entonces el sistema puede resolverse, como hemos visto antes: la solución es única.
  2. Que queden menos ecuaciones que incógnitas. También puede resolverse, pero la solución hay que darla en función de uno o varios parámetros.
  3. Que alguna ecuación se reduzca a 0 = k, donde k es un número distinto de cero. El sistema no tiene solución.
Veámolo en algunos ejemplos:

Escalones incas de jjramos
con licencia Creative Commons


Vamos a escalonar el siguiente sistema:

Este sistema es del primer tipo que hemos descrito y es posible resolverlo "de abajo arriba", como en el ejemplo anterior. Sus soluciones son (–2, 3).

En este ejemplo: si hacemos el proceso de escalonado, tenemos:

Nos quedan más incógnitas que ecuaciones. Ya vimos el año pasado que este tipo de sistemas se pueden resolver en función de una de las incógnitas, por ejemplo la z:

Y sustituyendo en la primera ecuación queda:
Para cada valor de z que probemos obtendremos una solución sustituyendo en las fórmulas de x e y. Por ejemplo, (16/3, 1/3, 0) ó (2, 20/3, –2). Podemos expresar la solución en funcío de un valor t, al que llamamos parámetro: (para todo número real t).
Por último este otro sistema: , al escalonarlo obtenemos:
Que no tiene solución ya que la última ecuación se ha convertido en una igualdad que no es cierta, independientemente de lo que valgan las tres incógnitas.
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Convierte los siguientes sistemas en su forma escalonada y averigua sus solución si es posible:

a)    b)   c)   d)

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