2.3. El método de Gauss

¿Te acuerdas de Raimundo? Él sigue con su trabajo en la cadena de supermercados. Quizás recuerdes que su trabajo consistía en trabajar con los datos de que disponía y lo que solía hacer era elaborar tablas o matrices con ellas para tener toda la información más a la vista y más fácil de comparar. Eso ocurre muchas veces en la vida cotidiana. El entrenador de un equipo de baloncesto va recogiendo todo el proceso que se sigue a lo largo de un partido mediante tablas comparativas, muchas de las cuales puedes verlas en las páginas deportivas de los diarios. El trabajar con esas matrices de números hace que sea más fácil seguir la evolución de los jugadores en lugar de tenerlo todo escrito según cada uno de los cuartos.

En este apartado lo que vamos a ver es como, para resolver un sistema, es posible trabajar con expresiones más simples que las que hemos visto hasta el momento. En concreto vamos a trabajar solamente con los coeficientes del sistema y no vamos a tener que arrastrar las incógnitas ni las igualdades. Quizás piense que esto es algo nuevo pero no es así.

Imagen tomada del Banco de Imagenes y sonidos del ITE.

Curiosidad

Paolo Ruffini, de
Wikimedia Commons.

El trabajar sólo con coeficientes para no tener que ir arrastrando las variables no es algo que debe resultarte desconocido. Aunque no lo recuerdes, seguro que en tus años de estudiante en el instituto viste la Regla de Ruffini para hallar el cociente y resto de la división de un polinomio entre divisores de la forma x–a, siendo a un número cualquiera. En dicha regla se distribuyen, en una caja, ordenadamente los coeficientes del polinomio y mediante sumas y multiplicaciones es posible hacer la división.

El matemático italiano Paolo Ruffini (1765, 1822) se graduó, además de en Matemáticas, en Medicina y Filosofía. Durante muchos años ocupó las cátedras de Medicina y Matemáticas en la Universidad de Modena, de la que fue Rector. Como curiosidad comentar que enfermó durante una epidemia de tifus, y que algunos años más tarde presentó un estudio de dicha enfermedad basado en su propia experiencia.

Trabajó principalmente en el campo del álgebra, en concreto en la búsqueda de las soluciones de ecuaciones de grado inferior a cinco.

Como ya hemos explicado en el apartado anteiuor, el Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales consiste en tomar la matriz ampliada del sistema y, mediante las transformaciones típicas de Gauss, conseguir una matriz triangular superior o matriz escalonada. Una vez conseguida, basta volver a recomponer el sistema que queda obteniéndose un sistema escalonado, es decir, un sistema donde cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la anterior. El teorema de Rouché nos permite decidir ante que tipo de sistema y la solución, en caso de ser posible, la hacemos resolviendo las ecuaciones del sistema "de abajo arriba" y utilizando parámetros en caso de ser preciso.

Recordemos, antes de empezar, los procedimientos que podemos seguir en el método de Gauss.

Podemos cambiar dos filas entre sí.
Podemos multiplicar o dividir una fila completa por cualquier número.
Sustituir una fila por una combinación lineal de la fila sustiyuida y las demás filas de la matriz.
Si una fila es completa de ceros, podemos eliminarla.
Si hay dos filas iguales o proporcionales podemos eliminar una de ellas.

Si te fijas en concreto en la última propiedad puedes comprobar que el Método de Gauss es una generalización del Método de Reducción que viste en el apartado anterior.

Lo mejor es que veamos, con un ejemplo, como se aplica el método de Gauss. Puedes verlo en la presentación adjunta.

En el siguiente applet puedes ver los pasos para estudiar un sistema y resolverlo mediante el Método de Gauss. Puedes escribir en la parte inferior los coeficientes y elegir en la parte superior el número de ecuaciones e incógnitas. Al seleccionar el pulsador de paso puedes ver como se va resolviendo el sistema.

Actividad de descartes creada por Alfredo Pena Iglesias bajo licencia CC bu-nc-sa/2.5

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