2.2. El teorema de Rouché-Frobenius
Hemos terminado el apartado anterior viendo que todo sistema puede transformarse mediante operaciones sobre las ecuaciones en otro equivalente escalonado y que eso permite su resolución. Este proceso puede simplificarse algo más aún si hacemos uso de las matrices, La idea es prescindir de las incógnitas y trabajar sólo con las operaciones entre las filas de la matriz ampliada del sistema. Veámoslo repasando un ejemplo que hemos desarrollado en el apartado anterior:
Así vemos que cada operación sobre las ecuaciones del sistema se corresponde con una operación con las filas de la matriz ampliada. El proceso que seguiremos será el siguiente:
- Extraeremos la matriz ampliada del sistema,
- Procederemos a escalonarla con operaciones sobre las filas,
- Cuando se haya conseguido, voveremos al sistema asociado a la última matriz y procederemos a resolverlo "de abajo aarriba".
Es más, si el sistema es escalonado, las matrices del sistema y ampliada también son escalonadas y por tanto se puede averiguar el rango muy fácilmente, como hemos visto en el tema anterior. Esto nos permite decidir sobre el tipo de sistema que tenemos estudiando el rango de la matriz del sistema y su matriz ampliada.
Lo podemos resumir así:
Importante
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El Teorema de Rouché, o de Rouché-Frobenius, nos dice que en un sistema de ecuaciones lineales el número de soluciones depende de los rangos que tengan la matriz ampliada y la de los coeficientes mediante la siguiente regla:
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| Torre escalones de Eustaquio Carrasco con licencia Creative Commons |
El siguiente applet te permite clasificar cualquier sistema de ecuaciones lineales de hasta 5 ecuaciones, con hasta 5 incógnitas, aplicando el Teorema de Rouché-Fröbenius. Puedes escribir en la parte inferior los coeficientes y elegir en la parte superior el número de ecuaciones e incógnitas. Al seleccionar el pulsador de paso puedes ver como se aplica el teorema.
Actividad de descartes creada por Alfredo Pena Iglesias bajo licencia Creative Commons
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Tenemos tres sistemas, cada uno con una cantidad distinta de soluciones. Utiliza el Teorema de Roché para responder a las cuestiones:
El sistema compatible determinado en el número .
El sistema compatible indeterminado es el número .
El sistema incompatible es el número .
Para que puedas practicar lo que has visto, en el siguiente enlace tienes un test en el que te hacen preguntas sobre la utilización del Teorema de Rouché para estudiar un sistema. Contesta a las preguntas para ver si has entendido lo que llevamos hasta el momento.