3.1. Multiplicación y división en forma polar

Dados dos números complejos, z = a+bi y z' = c+di, sabemos que su producto, hecho en forma binómica, es:


Podríamos utilizar estas expresiones para averiguar su módulo y argumento, pero vamos a hacerlo de otra forma: nos aprovecharemos de la forma polar de los dos factores para ver que el módulo y el argumento del producto tiene una relación sencilla con los correspondientes a los factores.

Si la forma polar de los dos números complejos es: z = rα y z' = sβ, para multiplicar pasaremos primero a la forma trigonométrica:

como i2 = –1, al agrupar términos queda:

y teniendo en cuenta las conocidas fórmulas del seno y del coseno de la suma de dos ángulos:

Ahora, observa la figura adjunta. En ella hemos construido dos triángulos:

  • El primero tiene como vértices el origen de coordenadas, el afijo de z y el punto D (1,0).
  • El segundo lo hemos costruido trasladando el ángulo α a continuación del radio vector de z' y el ángulo ODC al punto B que es el afijo de z'.
  • El tercer vértice C lo determinamos mediante la intersección de las prolongaciones de los lados de estos dos ángulos.

El triángulo ODA y el triángulo OBC son semejantes ya que, por construcción, tienen los tres ángulos iguales. En consecuencia:

Por lo tanto, el radiovector OC tiene de módulo r·s y como argumento α+β, luego el punto C es el afijo del producto z·z'.

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El producto de dos números complejos es otro número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de los factores y cuyo argumento es la suma de los argumentos de los factores:


Sea z = rα y designemos por z–1 = sβ a su inverso. Sabemos que su producto debe ser la unidad. Aplicando la propiedad de la multiplicación que acabamos de obtener tendremos que:

Podemos usar esta propiedad para obtener el cociente de dos complejos. Vamos a calcular la división entre z = rα y z' = sβ. Procederemos de la siguiente manera:


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El inverso de un número complejo z tiene como módulo el inverso del módulo de z, y como argumento el contrario del argumento de z:

El cociente de dos números complejos tiene como módulo el cociente de los módulos y como argumento la diferencia de los argumentos:


Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Dados los números complejos: y, vamos a exprésarlos en forma polar para luego hacer el producto y el cociente de ambos. Finalmente expresaremos el resultado de nuevo en forma binómica.

Con estos resultados el producto y el cociente son:


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Dados los números complejos: y , exprésalos en forma polar para luego hacer su producto y su cociente. Finalmente expresa el resultado de nuevo en forma binómica (utiliza aproximaciones decimales de la parte real e imaginaria)
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