En el tema anterior hemos visto el concepto de límite de una función en un punto. Aunque la formalización del concepto es complicado (a grandes matemáticos les costó bastante tiempo y esfuerzo llegar a determinarlo completamente), el significado intuitivo es relativamente sencillo: si nos acercamos con la variable al punto a, la función debe acercarse "tanto como queramos" a su límite b.

No todas las funciones son continuas o tienen límite, ya has visto casos en los que la función no tiene límite, y hemos tenido que hablar de límites laterales. En otros, la función tampoco tiene límites laterales, como en la función que asigna 0 a todos los números racionales, y 1 a todos los irracionales. Dado que los números racionales e irracionales están totalmente "entrelazados", esta función no tiene límite de ningún tipo en ningún punto. Aunque sea una función rara, nos permite entender que la realidad es, a veces, mucho más compleja de lo que nos imaginamos.

Pero hay muchas funciones sencillas y corrientes en las que su comportamiento hace que la función se "dispare" hacia el infinito, como pueden ser las funciones y . La idea que subyace con el límite infinito es, en realidad, la misma que la de límite finito: debemos considerar un "entorno" del infinito y un entorno del punto al que tiende. El infinito no es ningún punto, pero consideramos entorno de +∞ cualquier intervalo ilimitado a partir de un determinado número:

Así, decir que equivale a decir que cuanto más se aproxime la variable a a, la función se "acercará" al límite tanto como se quiera.

El significado de acercarse al infinito es, cuando menos, problemático, pues por más lejos que vayamos, siempre estaremos a una distancia infinita del infinito. Tenemos que entender que esta expresión equivale, en realidad, a "alejarse tanto como queramos del 0". Por lo que la definición la transformamos en:

A medida que nos acercamos a a, la función se hace tan grande como se quiera.

Estudiaremos las diversas posibilidades en los siguientes subapartados.