2.4. El método de Cramer

Las fórmulas de Cramer es un resultado matemático que permite dar, de forma explícita, las soluciones de un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas. Hemos hablado de ellas en el tema de los determinantes.

Si tenemos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, que escrito de forma matricial es A·X = B, designaremos por Ai a la matriz que resulta de sustituir la columna i de la matriz A por la matriz columna B de los términos independientes. Con esta notación, si la matriz de los coeficientes del sistema es regular (|A| ≠ 0), las soluciones vienen dadas por las fórmulas:

, para i de 1 hasta n

 

Evidentemenete, este método no resulta muy aconsejable para los sistemas de más de 3 ecuaciones con 3 incógnitas pues el cálculo de los determinantes de orden superior a 3 está en desventaja con los cálculos matriciales que exige el método de Gauss.

Veamos un ejemplo:


Gabriel Cramer de Wikimedia Commons
Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Vamos a resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas:

Se trata simplemente de sustituir en las fórmulas y calcular los determinantes:


El método de Cramer también puede usarse en sistems compatibles indeterminados. Se procede en estos casos como en el siguiente ejemplo.

Consideremos el siguiente sistema:

Paso 1º: Comprobar que el sistema es compatible indeterminado 

El determinante de la matriz de coeficientes es cero: . 

Buscamos el menor de mayor orden posible en la matriz de coeficientes para saber su rango. En este caso, el menor de orden dos  formado por los primeros elementos de la s dos primeras filas nos sirve: . Luego el rango de la matriz del sistema es 2.

Lo orlamos con el resto de las filas para comprobar que el rango de la matriz ampliada también es 2. El único determinante que nos queda por comprobar es: . Luego también el rango de la matriz ampliada es 2.  Y por lo tanto el sistema es compatible e indeterminado.

Paso 2º: Resolución por Cramer.

Se escogen las ecuaciones que nos aseguran que el rango en este caso es 2. Se trata de las dos primeras y en ellas llevamos los términos de la ecuación no involucrados en el menor al otro término:

Ahora aplicamos las fórmulas de Cramer a este sistema:

Luego la solución dada en función del parámetro t será: para todo número real t.

Icono IDevice Importante
El método de Cramer está bastante indicado para la resolución de sistemas homogéneos ya que estos sólo son de dos tipos: indeterminados o determinados (y entonces sólo tienen la solución trivial).
El procedimiento de resolución de un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas constaría de los siguientes pasos:
  1. Averiguaríamos el rango de la matriz de coeficientes: rango (Mc) = r.
  2. Si r = n entonces el sistema es determinado y sólo tiene la solución trivial.
  3. Si r < n entonces el sistema es indeterminado. Para resolverlo haríamos lo siguiente:
  • Buscaríamos el menor de mayor rango de la matriz de coeficientes Mc.
  • Nos quedaríamos con la parte del sistema que contiene a ese menor.
  • Pasaríamos al otro término de las ecuaciones todas las incógnitas cuyos coeficientes no formasen parte del menor.
  • Resolveríamos el sistema resultante dándo la solución en función de las incógnitas que hubiesen quedado en la derecha de las ecuaciones como parámetros.
Veamos un ejemplo:

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
Resolver el siguiente sistema:
Es fácil ver que el rango de Mc es 2: El rango de la matriz puede ser como máximo 3 ya que tiene 3 filas y 4 columnas.
Primero consideraríamos el menor , que al ser no nulo nos asegura al menos rango 2. Luego procedemos a orlarlo, lo que sólo se podría hacer sólo con la tercera o con la cuarta columnas, dando los menores de orden 3 siguientes:
que al ser o ambos nos permiten asegurar que el rango de la matriz de coeficientes es 2.

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Resuelve , usando las fórmulas de Cramer, los siguientes sistemas homogéneos:

1) 2) 3)

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