Una noción importante en las matemáticas modernas es la de "conjunto". Sin entrar en simbolismos matemáticos podemos definir "conjunto" como una serie de individuos que comparten alguna característica. Existe el conjunto de los números primos (formado por todos los números primos), el conjunto de las palabras castellanas que empiezan por A (formado por todas las palabras castellanas que empiezan por A), el conjunto de los mamíferos, etcétera.

Algunos conjuntos, dice el filósofo y matemático británico Bertrand Russell (1872-1970), se incluyen a sí mismos. Eso ocurre cuando el propio conjunto es uno de sus miembros. Por ejemplo, el conjunto de los conceptos matemáticos se incluye a sí mismo, pues él es un concepto matemático. Pero, otros conjuntos no se incluyen a sí mismos. Tal es el caso del conjunto de los mamíferos: este conjunto no se incluye a sí mismo, pues un conjunto no es un mamífero. Por tanto, argumenta Russell, tenemos dos grandes conjuntos:

En un barco mercante hay un solo barbero. Su trabajo consiste en afeitar a cualquier miembro de la tripulación cuando lo necesite. Como a los marinos les crece muy deprisa la barba el barbero no para de trabajar, y eso le produce un gran agobio.

Le expone su problema al capitán del barco, y éste, muy comprensivo, decide lo siguiente:

Todo aquel que pueda afeitarse a sí mismo se afeitará a sí mismo. El barbero solo afeitará a los que no puedan afeitarse a sí mismos.

El barbero sale muy satisfecho de la reunión, pensando que a partir de ese momento su trabajo será muy llevadero: solo tendrá que afeitar a los enfermos o lesionados... Pero, al día siguiente vuelve a visitar al capitán y, en un estado de gran agitación, le suplica volver a la situación anterior. El capitán, sorprendido, le pregunta la razón de tan extraña petición y el barbero responde: