En este primer apartado calcularemos las razones del ángulo AOP comprendido entre y en función de un ángulo del primer cuadrante. Sean Q el simétrico de P respecto del eje de ordenadas, y P', Q' sus proyecciones sobre el eje de abscisas. Los triángulos OPP' y OQQ' son rectángulos, tienen la misma hipotenusa (r=1) y el ángulo Q'OQ es igual al P'OP, luego los catetos serán iguales, así podemos determinar fácilmente la relación entre las razones trigonométricas de los respectivos ángulos, que son suplementarios.

Moviendo el punto P podrás ver cómo cambian los ángulos y sus razones. Prueba con unos cuantos y observa en los triángulos OPP' y OQQ' cuáles son los catetos que se corresponden (están pintados del mismo color). Del mismo modo, los triángulos OAT y OAT' nos dan las tangentes. Finalmente, deja la gráfica con un ángulo α de unos 30º (PP'=0'5), y compara los senos, cosenos, y tangentes obtenidos.

Al ser α y β suplementarios, los triángulos OPP' y OQQ' son semejantes y con la misma hipotenusa (r=1), luego los catetos son iguales: PP'=QQ' y orientados positivamente, así .

Por otra parte, también OP'=OQ', pero, en este caso, la orientación es inversa, el primero es negativo y el segundo positivo, de ahí que .

En cuanto a la tangente, el triángulo OAT es semejante al OAT' y tienen un cateto común, por lo que AT=AT' pero en sentido contrario, uno es negativo y el otro positivo, luego:

Notas: En alguna ocasión, nos podemos encontrar con algún ángulo como , que también es del II cuadrante, pero no está expresado en la forma "canónica" que acabamos de ver. En este caso, lo mejor es hacernos (o imaginarnos) un gráfico con un ángulo de unos 30º y deducir fácil y rápidamente cuál es la relación entre las razones trigonométricas. De la gráfica adjunta se deduce inmediatamente:

Debemos prestar especial atención a los signos de las razones, es decir, a la orientación de los segmentos (hacia la izquierda o hacia abajo, negativos, en otro caso, positivos).