2.2. Módulo y argumento

La representación gráfica de un número complejo mediante su afijo y el correspondiente radiovector nos abrirán las puertas de otra forma de referirnos a los números complejos. Para ello definiremos dos magnitudes mediante las que será posible identificar de forma unívoca cada número complejo.
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Llamaremos módulo de un número complejo z = a+bi a la longitud de su radiovector. Aplicando el teorema de Pitágoras, tendremos que:

Se llama argumento del número complejo z —lo denotaremos Arg(z)— a la medida del ángulo que forma su radiovector con la parte positiva del eje real. De acuerdo con las relaciones trigonométricas, tenemos que:


Propiedades del módulo

  • El único número complejo con módulo 0 es z = 0.
Esta propiedad es evidente si nos fijamos en la siguiente figura:
ya que uno de los lados del triángulo ( ) es siempre menor que la suma de los otros dos (que son y ).
Demostrar esta igualdad es un simple ejercicio algebráico. En efecto:

Propiedades del argumento

  • El argumento del z y el de su opuesto difieren en 180º.
  • El argumento de un número complejo y el de su conjugado suman 360º.
Ambas propiedades son consecuencia de las consideraciones que hemos hecho en el apartado anterior sobre las representaciones del opuesto y del conjugado de un número complejo.
  • Los números reales tienen argumento 0º o 180º segun sean positivos o negarivos.
  • Los números imaginarios puros tienen argumento 90º o 270º.
Basta observar su representación gráfica.
  • Dos números complejos cuyos argumentos se diferencien en un múltiplo entero de 360º son iguales.
Es una consecuencia del hecho de que cada 360º volvemos a la posición inicial pues hemos dado una vuelta completa. Por eso, si el número complejo tiene como argumento α, entonces también son argumentos los ángulos de la forma α+360ºk. Llamaremos argumento principal del número complejo alúnico de sus argumentos que está comprendio entre 0º y 360º.
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¿Cuáles son el módulo y el argumento del número complejo ?

De acuerdo con las definiciones tenemos que:

Cuando tratamos de averiguar el ángulo que corresponde a este valor de la tangente la calculadora nos devuelve como resultado –30º. Por ello es conveniente que, mediante la representación gráfica, averiguemos en qué cuadrante está el afijo de z para poder dar la respuesta adecuada, que en este caso será 330º.

Conviene observar que si el número complejo hubiese sido , la tangente hubiese sido la misma y la calculadora hubiese dado el mismo resultado, aunque ahora se trataría de un ángulo del segundo cuadrante, concretamente 150º.


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Haz la representación de los siguientes números complejos en el plano complejo y calcula el módulo y el argumento de los siguientes números complejos:
a); b) ; c)

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