4. La función logística

10. Óvulo. Wikimedia Commons.

En el desarrollo de un embrión, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimiento exponencial. Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de células, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace y continúa creciendo. Finalmente, el número de células se estabiliza y la estatura del individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se detiene.

El proceso que acabamos de describir se dice que es un crecimiento logístico.

La función exponencial , que es un modelo válido para crecimientos continuos en los que las condiciones son siempre igualmente favorables (aumento del capital ingresado, desintegración de sustancias radiactivas, ...) no es del todo válido para poblaciones animales o vegetales cuando éstas se aproximan a un nivel de saturación y, por tanto, a la necesidad de competir unos individuos con otros para la supervivencia. Entonces el modelo adecuado es el de la función logística.

Veámosla en comparación con la exponencial:

Si la función exponencial tiene como expresión analítica

la función logística tendría como ecuación

Observamos que, al comienzo, el crecimiento logístico es similar al exponencial.
Así, para ,
la función exponencial toma el valor y
la función logística
por tanto, podríamos decir que
La presión ambiental hace que el crecimiento sea cada vez más lento.
La capacidad poblacional, , no es superada: es asíntota horizontal, es decir la población tiende a sin superarla.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Supongamos que queremos hacer una repoblación de conejos en una isla y, para ello, introducimos inicialmente 50 conejos. Sabemos que la tasa de natalidad mensual de los conejos es de un 5%. Según esto la función que nos daría la población de conejos al cabo de meses es

Generalmente, las funciones exponenciales de cualquier base se transforman en una exponencial de base , sin más que tomar logaritmos:

Así,

Transformamos nuestra función exponencial para escribirla con base

Supongamos que las condiciones ambientales y los recursos alimenticios hacen que puedan vivir, a lo sumo, 1000 conejos. Veamos cuál sería la curva de crecimiento logístico:

Inicialmente,

Por tanto, la función logística sería

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Estudia el crecimiento de la función anterior comparándola con el crecimiento de la función exponencial. Completa la tabla siguiente recondeando a las décimas.

1 mes	6 meses	1 año	2 años	5 años	10 años	20 años
JXUwMDZkJXUwMDA3JXUwMDFlJXUwMDFh	JXUwMDZlJXUwMDAxJXUwMDFiJXUwMDE5	JXUwMDYxJXUwMDA4JXUwMDFkJXUwMDFk	JXUwMDY5JXUwMDA3JXUwMDAw
JXUwMDZkJXUwMDA3JXUwMDFlJXUwMDE4	JXUwMDZlJXUwMDAwJXUwMDFhJXUwMDFm	JXUwMDYwJXUwMDBmJXUwMDFiJXUwMDE5			JXUwMDYxJXUwMDBjJXUwMDAw