5. Problemas de aplicación
A lo largo del tema hemos ido apuntando algunas de las muchas aplicaciones que tiene la función exponencial y, relacionadas con ella, la función logarítmica y la logística.
Ahora que ya tenemos todas las herramientas a nuestro alcance es el momento de resolver problemas y conocer otras situaciones en las que aparecen estas funciones.
Ejemplo o ejercicio resuelto
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| 12. Ballena. Creative Commons. |
Crecimiento exponencial
En 1966 la Comisión Internacional
Contra la Captura
de Ballenas protegió a la población mundial de ballena azul contra los barcos
balleneros. En 1978 se pensaba que la población en el hemisferio sur era de
5000. Ahora sin depredadores y con abastecimiento abundante de alimentos, se
espera que la población crezca exponencialmente de acuerdo con la fórmula 
, en la que t está dado en años.
a) Calculamos la población en el año 2000.
ballenas
b) Pronostica la población en el año 2007.
ballenas
c) Siguiendo el modelo creado y asumiendo que 0% de natalidad y 1978 como año cero, ¿cuándo se duplicará la cantidad de ballenas azules?
años
En el año 1993 había el doble de ballenas que en el año 1978.
AV - Reflexión
.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Decrecimiento exponencial
Una técnica para descubrir la antigüedad de un objeto antiguo (como un hueso, un mueble, una tabla), es medir la cantidad de Carbono 14 que contiene.
Mientras están vivos, los animales y plantas tienen una cantidad constante de Carbono 14, pero cuando mueren disminuye por la radioactividad.
El valor de esta cantidad viene dada por 
, donde 
es la cantidad en un ser vivo y 
la hallada en una muestra fósil
al cabo de 
años de su muerte y 
es una constante.
El periodo de semidesintegración del C14 es de 5730 años. Veamos la evolución de 1g de C14.
Dentro de 5730 años ese gramo se habrá reducido a la mitad:
Por tanto, para el C14 tenemos la fórmula: 
Supongamos que un hueso hallado en un yacimiento arqueológico contiene el 20% del C14 que contenía en vida del animal. Vamos a estimar su antigüedad:
Según la fórmula anterior 
Tomando logaritmos neperianos: 
años, aproximadamente.
AV - Reflexión
años
Curiosidad
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13. Lucy.
Ceative commons
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Lucy es el esqueleto de un homínido perteneciente a la especie
Australopithecus afarensis, de 3,2 millones de años, descubierto por el
estadounidense Donald Johanson el 24 de noviembre de 1974 a 150 km de
Adís Abeba, Etiopía.
(Extraído de Wikipedia)
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Ejemplo o ejercicio resuelto
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| 14. Psicosis gripal. Creative Commons. |
Crecimiento logístico
Supongamos que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su instituto donde hay 1000 alumnos. La enfermedad es muy contagiosa y se sabe, por experiencias anteriores, que si no se aplica ningún remedio, el número de infectados por el virus crece exponencialmente a razón de un 250%.
En ese caso la función exponencial que nos daría el número de afectados al cabo de 
días es
Así, al cabo de 4 días habría 
enfermos, aproximadamente.
Sin embargo, las autoridades sanitarias conocen bien el desarrollo de la enfermedad y desde los primeros síntomas se aplica el tratamiento y el crecimiento de afectados sigue una función logística de la que sabemos la población límite, 1000 alumnos, y el ritmo de crecimiento inicial
Averiguamos 
sabiendo que, inicialmente había un sólo alumno infectado.
Por tanto, la función logística que describe este fenómeno es 
Calcula el número de afectados que habrá al cabo de 5 días.
AV - Reflexión
días, aproximadamente.
AV - Reflexión
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| 15. Nacimiento de la estrella L1014. Wikimedia Commons |
Escalas logarítmicas
Las estrellas se clasifican en categorías de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas más débiles (con flujo luminoso 
) se les asigna magnitud 6. A las estrellas más brillantes se les asigna magnitud conforme a la fórmula:
en donde 
es el flujo luminoso de la estrella.
a) Determina la magnitud 
si el flujo luminoso de la estrella es 
b) Escribe la función que nos da el flujo luminoso dependiendo de la magnitud y del flujo luminoso .
c) ¿Qué luminosidad tendrá una estrella de primera magnitud?
Será 100 veces más luminosa que las estrellas más débiles.
Para saber más