3.1. Regla de Laplace
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La propiedad 7 del apartado anterior permite calcular la probabilidad de un suceso S conociendo las probabilidades de los sucesos que lo componen. En ocasiones, la simetría de los sucesos elementales sugiere considerarlos equiprobables (todos ellos con la misma probabilidad). Este razonamiento lo aplicamos a experiencias como lanzar monedas, dados, extraer cartas de una baraja, etc. A veces, el mecanismo generador de los resultados está diseñado para asegurar esta equiprobabilidad, como en la lotería o la ruleta. En estos casos, si existen n sucesos elementales equiprobables, la probabilidad de cada uno de ellos debe ser 1/n, para asegurar que la suma total sea 1. La probabilidad de un suceso A que contiene m sucesos elementales será m/n. Esta forma de asignar probabilidades se atribuye a Laplace y de forma concisa se puede enunciar así: |
| 4. Pierre- Simon Laplace (1749-1827). Wikimedia Commons |
Importante
Regla de Laplace
La probabilidad de un suceso A en un fenómeno aleatorio es
siempre que todos los casos posibles sean igualmente probables.
Ejemplo o ejercicio resuelto
1. Lanzamos un dado de 6 caras para hacer quinielas donde hay marcados tres 1, dos X y un 2.
- P("salir 1") = 3/6 = 1/2
- P("salir X") = 2/6 = 1/3
- P("salir 2") = 1/6 = 1/6
2. En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas:
P("rey") = 0,15 P("bastos") = 0,3 P("ni rey ni bastos") = 0,6
a) ¿Estará entre ellas el rey de bastos?
Veamos: el suceso "ni rey ni bastos" es el complementario de "rey o bastos"
P("ni rey ni bastos") = 0,6 
P("rey o bastos") = P("rey 
bastos") = 0,4
P("rey bastos") = P("rey") + P("bastos") - P("rey 
bastos")
Es decir, 0,4 = 0,15 + 0,3 - P("rey bastos") P("rey bastos") = 0,05
Por tanto, el rey de bastos sí está en la baraja y su probabilidad es 0,05.
b) ¿Cuántas cartas hay?
La probabilidad de extraer cada carta de de este montón es la misma. Se dice que la baraja es un instrumento de Laplace.
Si en este montón de cartas la probabilidad del rey de bastos es 
es porque hay 20 cartas.
Ya hemos dicho que la regla de Laplace se puede aplicar cuando todos los casos posibles (elementos del espacio muestral) tienen la misma probabilidad. Hay casos en que esto no es posible. Vemos dos ejemplos:
Ejemplo o ejercicio resuelto
Instrumentos irregulares
Una moneda cargada, un dado mal construido o una chincheta son instrumentos irregulares: los sucesos elementales no tienen la misma probabilidad.
En estos casos, para evaluar la probabilidad de un suceso recurrimos a la ley de los grandes números.
Efectuaremos un número grande de experiencias y tomaremos la frecuencia relativa como una medida de la probabilidad del suceso. Cuanto más grande sea el número de veces que realicemos el experimento, más confianza tendremos en la estimación.
Por ejemplo, si lanzamos 1000 veces una chincheta y obtenemos los resultados:
- 625 veces ha caido en la posición
- 375 veces ha caído en la posición
Podemos estimar que la probabilidad de que caiga en la posición es 5/8.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Instrumentos regulares con sucesos elementales no equiprobables
Lanzamos dos dados correctos y sumamos las puntuaciones obtenidas. El espacio muestral es
E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sin embargo, no todos los resultados tienen la misma probabilidad de salir. De hecho, para que la suma sea 12 es forzoso obtener 6 en cada dado, mientras que la suma será 8 tanto si se obtiene 6 y 2, 5 y 3 o 4 y 4.
Podemos modificar la descripción de la experiencia de modo que los resultados sean equiprobables:
Supongamos que tenemos un dado de color rojo y otro de color azul. Así, el espacio muestral se incrementa hasta 36 resultados posibles, todos ellos con la misma probabilidad: 1/36.
Los sucesos "suma 12", "suma 5" o "suma 8" que antes eran sucesos elementales, ahora son sucesos compuestos y la asignación de probabilidades sería:
| Resultado | {2} | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | {8} | {9} |
{10} |
{11} |
{12} |
| Probabilidad |  |
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AV - Pregunta Verdadero-FalsoLanzamos un dado barato que, al estar los puntos excavados, cae irregularmente. La cara del 6 es más ligera y está situada en el lado opuesto del 1, que es la más pesada. Así, después de 1000 lanzamientos obtenemos las siguientes frecuencias absolutas:
F(1)=159; F(2)=163; F(3)=166; F(4)=166; F(5)=171; F(6)=175
Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
- Las probabilidades de los resultados son, respectivamente:
P(1)=0,159; P(2)=0,163; P(3)=0,166; P(4)=0,166; P(5)=0,171; P(6)=0,175
Verdadero Falso
- No se pueden asignar probabilidades, ya que el dado no es un instrumento de Laplace, es decir, los resultados posibles no son equiprobables.
Verdadero Falso
- La probabilidad de obtener un número impar es 0,5
Verdadero Falso
- La probabilidad de obtener un número menor que 6 es 0,825
Verdadero Falso
AV - Reflexión
Lanzamos dos dados correctos, con resultados equiprobables.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar sus puntuaciones?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 al calcular su diferencia?