1.1. Justificación
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Antes de empezar con el concepto de determinante si debemos comentarte algo. El cálculo del determinante de una matriz es una herramienta que nos va a permitir resolver problemas más o menos cotidianos, pero es solamente eso, una herramienta.
Suponemos que recuerdas, por ejemplo, el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones. Pasa algo parecido. Es decir, mientras que en muchas situaciones de la vida cotidiana te puedes encontrar cuadros de números, como viste en el tema anterior, nunca te vas a encontrar un determinante por la calle. Quizás por eso este tema te parezca un poco más abstracto, pero como verás en los temas que siguen, sin este concepto hay muchos problemas que sería muy complicado resolver.
A continuación vamos a dar una definición de este concepto y al final de este apartado trataremos de ofrecerte una explicación matemática que le de sentido.
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se asocia a dicha matriz y que nos va a permitir, por ejemplo, saber si la matriz tiene o no inversa, o el número de soluciones de un sistema de ecuaciones.
Si tenemos la matriz 
su determinante se representa de distintas formas: podemos escribir det(A), |A| ó 
.
Como puedes ver por la última expresión, se escribe igual que una matriz pero se limita por barras rectas en lugar de por paréntesis.
Importante
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El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos los de la diagonal secundaria. Es decir: 
Así, el determinante de la matriz que hemos puesto antes como ejemplo sería: Si te fijas en los subíndices que aparecen en la definición del determinante anterior puedes observar que en cada producto hay un elemento de cada fila (observa el subíndice primero de cada término en ambos productos) y un término de cada columna (fíjate ahora en los segundos subíndices de cada término a). Esta característica se va a cumplir en todos los determinantes. |
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Determinant_2x2
de Wikimedia Commons |
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AV - Actividad de Espacios en Blanco
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El valor del determinante
es
.
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Para que el valor del determinante
sea 4 es necesario que a valga
.
.
si queremos que sea 4, tendremos 5a-6=4 de donde, 5a=4+6 = 10 y por tanto a = 10/5 = 2.
AV - Reflexión
a)
; b)
; c)
.
.
.
¿Por qué se define así el determinante?
Vamos con las justificación prometida. La encontraremos en la búsqueda de unas "fórmulas" para la resolución de sistemas de ecuaciones. En efecto, se trata de obtener un resultado parecido al que se tiene para las ecuaciones de 2º grado: una fórmula en la que sustituyendo los coeficientes del sistema se obtengan las soluciones. Para ello trataremos de resolver el sistema de ecuaciones en general:
Sea el sistema:
; para resolverlo vamos a usar el método de reducción.
Eliminaremos la primera incógnita: 
Y ahora sumamos las dos ecuaciones con lo que obtenemos: 
La última operación será posible sólo si el denominador no es nulo. Fíjate que ese denominador es precisamente lo que hemos definido como determinante de la matriz A, que en este caso es la de los coeficientes del sistema de ecuaciones. El numerador también tiene la extructura de un determinante. Con ello podemos sacar las siguientes conclusiones:
- Para que el sistema de eduaciones pueda resolverse es preciso que el determinante de los coeficientes del sistema sea no nulo.
- La segunda incógnita viene dada por la siguiente fórmula:
Haciendo un trabajo similar y eliminando la segunda incógnita obtendríamos la formula correspondiente a la primera incógnita que es:
Una última observación:
- Los determinantes de los dos numeradores se obtienen sustituyendo la columna correspondiente a la incógnita por la columna de los términos indepoendientes.