En la década de los 90 del pasado siglo, emitían en la televisión una serie americana cuyo título se traducía por "Los problemas crecen". Ese podría ser el lema de los matemáticos. En cuanto vemos la solución a un determinado problema ya queremos ir un poco más allá. Siempre pensamos qué ocurriría si tenemos más datos o más incógnitas, o si lo que hemos visto hasta el momento se puede generalizar a otros casos más. En general buscamos algoritmos y propiedades que puedan cumplirse en la mayor cantidad de casos. Eso es lo que vamos a hacer en este apartado.

En el punto 1.1 has visto como hallar el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 y en el punto 1.2 otra para la de orden 3, la muy conocida regla de Sarrus. Lamentablemente ya no existen reglas para determinantes de orden superior, por lo que si queremos encontrar el valor del determinante de una matriz cuadrada de orden mayor que 3, tenemos que simplificarla utilizando las propiedades que hemos visto en el punto anterior. Veremos como se hace.

A la izquierda puedes ver el cálculo del menor complementario y el adjunto de un término. Observa la regla de signos que corresponden a los adjuntos y podrás observar que siempre se alternan comenzado con el signo más. Cada vez que nos movemos, en horizontal o vertical, de un término a otro cambia la paridad entre + y –.

En la ventana de abajo puedes elegir cualquier matriz y hallar, paso a paso, su matriz adjunta. Observa como al calcular los adjuntos, los signos más, (que no aparecen)y los menos se alternan.

Applet de Descartes de Alfredo Pena Iglesias bajo licencia Creative Commons CC BY-NC-SA

Recuerda que cuando aplicamos la regle de Sarrus para obtener el valor del determinante de una matriz se obtienen seis productos:

Si ahora agrupamos los términos de forma que estén juntos los que contienen el mismo elemento, por ejemplo de la 2ª fila, tendríamos:

Y si ahora sacamos factor común ese elemento:

Podemos escribir cada paréntesis como un determinante de orden 2 ya que tienen su estructura:

Que si recordamos las definiciones anteriores no son más que los menores correspondientes a los elementos de la 2ª fila, y al tener en cuenta el signo que les precede, los adjuntos de los elementos de esa fila:

Este proceso se puede repetir con cualquier fila o columna y su generalización a los determinante de orden mayor es lo que nos permitirá hacer su cálculo reduciéndolos a determinantes de orden menor.

Hay un modo de hacer este proceso más fácil. Consiste en utilizar las propiedades de los determinantes que vimos en el apartado anterior para hacer todos los elementos de una línea, menos uno, ceros. Después desarrollamos por esa línea y solo tenemos que hallar un adjunto, que siempre contendrá un determinante de orden inferior.

Básicamente este procedimiento consiste en los siguientes pasos (la descripción se refiere a una fila pero odría hacerse lo mismo con una columna cambiaando el papel de las filas por columnas y viceversa):

• Elegimos una fila en la que haya cuantos más ceros mejor (si todos los elementos de la fila fuesen cero, el determinante también lo sería y ya habríamos terminado).
  
• Dentro de la fila escogida nos fijamos en uno de sus elementos no nulos (vamos a suponer que es el primero, pero podría ser otro cualquiera).
• Dividiremos toda la fila escogida por el número que ocupa el primer lugar. De acuerdo con la propiedad 5, el determinante habrá quedado dividido por ese número.
• Sustituiremos cada columna, que en la fila escogida tenga un elemento no nulo, por una combinación lineal de esa columna y la primera que de como resultado que en la fila elegida se obtenga un cero.
  Por ejemplo, si el primer elemento de la fila era un 2 y el tercer elemento de esa misma fila es un 5, primero habríamos dividido la fila por 2, con lo que en el primer lugar tendríamos ahora un 1 y en el tercer lugar 5/2 (el determinante obtenido habría quedado dividido por 2). A continuación, sustituiríamos la columna 3, C₃, por la siguiente combinación de la columna 3 y la columna 1: C₃ → C₃ – (5/2) · C₁. El reultado tendría en la columna 3 un cero.
• Una vez hecho esto con cada elemento no nulo de la fila 1, excepto el primero, desarrollaríamos el determinante por los elementos de dicha fila.
• Repetiríamos el proceso hasta que llegásemos a un determinante de orden 3 que ya podríamos calcular aplicando la regla de Sarrus.

Todo esto lo podemos ver explicado, paso a paso, en la siguiente ventana, así como en los úlimos ejercicios que te proponenmos para practicar.

Applet de descartes creado por Alfredo Pena Iglesias bajo licencia Creative Commons CC BY-NC-SA