El método de Gauss para hallar un determinante de cualquier orden, es una generalización del método que vimos al final del apartado anterior para desarrollar un determinante por una línea en la que se han hecho previamente ceros todos los elementos de una línea menos uno, que es por el que se desarrolla.

El objetivo del método es conseguir triangularizar la matriz que está dentro del determinante pues, de esa forma, es muy fácil hallar su valor, pues el determinante de una matriz cuadrada triangular (da igual que sea superior o inferior) es igual al producto de los elementos de la diagonal principal (propiedad 10).

Las operaciones que podemos realizar con las líneas del determinante son: Cambiar entre sí dos líneas. En ese caso el determinante cambia de signo, por lo que el determinante resultante debemos multiplicarlo por -1. Multiplicar o dividir una línea por un número, pero en ese caso debemos hacer la operación contraria en el determinante, para que no cambie su valor. Sumarle a una fila o columna otra paralela multiplicada por cualquier número. En este caso el valor del determinante no varía. Lo usual es hacer ceros todos los elementos por debajo de la diagonal principal, utilizando, escalonadamente, los elementos de la diagonal principal, y por tanto su fila, para hacer ceros los que están debajo.

Weber & Gauss de Cherishing the mundane on licencia Creative Commons

Estas operaciones las iremos aplicando para conseguir los ceros tal como hemos descrito en el apartado anterior. La única diferencia es que ahora escogeremos en primer lugar una línea que tenga un elemento no nulo en el primer lugar y luego haremos que se anulen todos los elementos del resto de las líneas que están en ese mismo lugar. Luego procederemos de igual manera con la segunda línea, pero ahora con el segundo elemento y así sucesivamente.

Veamos un ejemplo resuelto.