1.1. Cálculo de intervalos

Ya has podido comprobar que determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función cuando nos dan su representación gráfica es algo intuitivo y muy sencillo.

Ahora nos interesa el procedimiento analítico, es decir, si nos dan la ecuación de una función cuya representación gráfica no es algo inmediato, ¿cómo podemos averiguar dónde crece y dónde decrece? De hecho, veremos más adelante que esta información será imprescindible para la representación de funciones.

Empezamos con una función continua en todo , por ejemplo la función polinómica.

Antes de hacer los cálculos visualiza los resultados que vamos a obtener en esta ventana dinámica.

Mueve el punto P y observa la pendiente de la recta tangente.

Visualiza la función derivada y fíjate en le signo de la derivada en el punto P.

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.

En el apartado anterior hemos concluido que el signo de en un punto nos indica si la función crece o decrece en ese punto, por tanto para averiguar los intervalos en que la función crece o decrece bastará con resolver las inecuaciones y . Para ello:

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto
Seguimos con el estudio de la función

  • Averiguaremos cuáles son los puntos singulares, es decir, aquellos en que
  • Marcamos en la recta real los puntos singulares y ésta quedará dividida en intervalos.
    Si es continua, para que su gráfica cambie de signo tiene que cruzar el eje OX, pero los únicos puntos en que la gráfica de toca al eje OX es en los puntos singulares. Por tanto, en un intervalo la función no cambia de signo, siempre es positiva o siempre negativa.
  • Calculamos el valor en cualquier punto de cada intervalo

      (-∞,1)
    		(1,3) (3,+∞)
    f' + -
    		+
    f crece decrece crece
    Como en (-∞,1) y en (3,+∞), diremos que la función es creciente en esos intervalos.
    Como en (1,3), diremos que la función es decreciente en ese intervalo.

Veremos ahora el procedimiento para funciones discontinuas.

Observa la animación de este gráfico haciendo click en el botón . Puedes pararla cuando quieras pulsando el botón .

Después activa la casilla para visualizar la función derivada.

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.
Icono de iDevice AV - Actividad de Espacios en Blanco
Rellena los espacios en blanco:

En x = -2 la derivada es y la función es .

En x = 0 la función pasa de a y la derivada es .

En x = 1/4 la derivada es y la función es .

En x = 3/4 la derivada es y la función es .

En x = 2 la función ni ni y la derivada es .

En x = 4 la derivada es y la función es .

  

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función :

  • Tendremos en cuenta los puntos de discontinuidad: en este caso, .
  • Veremos en qué puntos se anula la función derivada:

    Los puntos singulares son y
  • Hacemos la tabla para estudiar el signo de la función derivada teniendo en cuenta los puntos de discontinuidad y los puntos singulares; evaluamos el signo de la derivada del mismo modo que en el ejemplo anterior:


  (-∞,0)
(0,1)
(1,2)
(2,+∞)
f' + -
-
+
f crece decrece decrece

crece

La función es creciente en y decreciente en.

Icono de iDevice AV - Reflexión

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1. 2. 3. 4.

« Anterior | Siguiente »