4.2. Funciones racionales

5. Problemas de aplicación de la derivada

La diferencia fundamental de estas funciones respecto a las polinómicas es que su dominio ya no es siempre y, por tanto, aparecen discontinuidades y asíntotas.

En el tema 2 aprendiste a hallar las asíntotas verticales y horizontales y viste algún ejemplo en el que la función, cuando x tendía a infinito, se aproximaba cada vez más a una recta oblicua, es decir la función tenía una asíntota oblicua.

Vamos a ver una forma sencilla de calcular estas asíntotas en funciones racionales. Al curso que viene estudiarás un método para hallar asíntotas oblicuas en cualquier tipo función, pero ahora nos basta con saber que:

Importante

En una función racional, una asíntota oblicua

Existirá siempre que el polinomio del numerador tenga un grado mayor que el del polinomio del denominador.
La asíntota será el cociente de efectuar la división de los dos polinomios.

Veamos por qué.

Sea , donde .

Si efectuamos la división , donde y

entonces,

Por tanto, cuando x tiende a infinito la función tiende a lo mismo que un polinomio de primer grado, es decir, a una recta. Esa recta es la asíntota oblicua que buscábamos.

Recuerda que en el tema 2 ya aprendiste a representar funciones racionales. Sólo necesitabas precisar dónde se encontraban los máximos y mínimos relativos y eso es lo que te permite el estudio de la función derivada.

Importante

Una vez hallados:

el dominio
las asíntotas
los puntos de corte con los ejes

y antes de estudiar la función derivada

haz un esbozo de la gráfica de la función

después, localiza los máximos, mínimos y puntos de inflexión y comprueba que es coherente con el esbozo que has hecho anteriormente.

En el apartado 2.1. hemos calculado los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hallado los extremos relativos de una función racional. Completaremos su estudio y la dibujaremos como ejercicio inicial.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Dominio:
Asíntotas: Verticales: y , ya que
Para averiguar el signo, debemos hacer los límites laterales:

Horizontales: No hay, ya que
Oblicuas: , por tanto, es la asíntota.
Puntos de corte con los ejes: Si . Entonces el punto es el único punto de corte con los ejes.
Esbozo de la gráfica
Estudio de f'(x): La función es creciente en y decreciente en . Tiene un máximo relativo en , un punto de inflexión en y un mínimo relativo en .
Representación gráfica

Ejemplo o ejercicio resuelto

2. Representar la función

Dominio:
Asíntotas: Verticales: y

Horizontales: , ya que
Oblicuas: Si hay horizontal, no puede haberlas.
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje OY no puede haber, ya que es una asintota vertical, la función no es continua.
Con el eje OX: cuando , es decir, para y .
Los puntos de corte con los ejes son y
Esbozo de la gráfica
Puntos singulares: cuando cuyas soluciones son y . , . Los puntos singulares son y .