Funciones y gráficas
3º -
Matemáticas y Tecnología
3.1. Continuidad
Definiciones
Una de las características de las gráficas consiste en observar si se puede representar sin interrupciones o saltos.
- Una función es continua si en los puntos de su dominio se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel,
- Si una función tiene interrupciones o saltos en puntos de su dominio diremos que es discontinua en ellos.
Para representar una función mediante una gráfica construimos una tabla de valores, pero sólo tomamos unos cuantos. En el momento de representarla hay tenemos que plantearnos si es posible o no unir todos los puntos. En ocasiones el contexto del problema nos indica que no es posible unirlos, y así la gráfica estará compuesta de puntos aislados y en otras será una gráfica de líneas. A continuación tienes varios ejemplos que ilustran estas situaciones.
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EJEMPLO 1: En una cooperativa de frutas han decidido que para vender los kiwis serán envasados en bandejas y cada una costará 1,5 euros.
A la derecha está la gráfica asociada, como puedes ver no tiene sentido hablar de medias bandejas por lo que los puntos no se unen mediante una recta.
La función es discontinua, está formada por puntos aislados y no tiene significado en este contexto unir los puntos de la gráfica. En este caso se dice que la variable independiente es discreta.
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EJEMPLO 2: En otra cooperativa han decidido vender los kiwis a granel a 2,5 euros el kilo.
Su gráfica sería la de la derecha, en este caso tiene sentido hablar de 100 g, medio kilo, 0,7 kg ó 1,2 kg, así que podemos unir todos los puntos.
La función es continua porque podemos comprar peso de cualquier cantidad intermedia, fíjate que la escala del eje de abscisas es de 1/4 kg.
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EJEMPLO 3: En una tienda alquilan bicicletas por horas con la siguiente distribución:
Hasta 4 horas 6 Є
Entre 4 y 8 horas 10Є
Más de 8 horas 14Є
La gráfica correspondiente es la adjunta. Como puedes observar aquí podemos unir los puntos porque con el tiempo podemos tomar todos los valores intermedios. Fíjate además que en este caso hay varios valores de tiempo que tienen las mismas imágenes para 2, 3 y 4 horas nos cuesta lo mismo 6 euros.
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Esta función es discontinua en x = 4 y x = 8 pues si intentas trazarla con un lápiz tienes que levantarlo. En estos puntos se produce un salto de la función y decimos que es discontinua en dichos puntos. Por su forma recibe el nombre de función escalonada o en escalera.
Otro tipo de discontinuidad
Además de las discontinuidades que se ven en este apartado, hay otros tipos, que serán objeto de estudio en cursos posteriores, llamadas discontinuidad evitable, de salto infinito y esencial.