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4º -  Matemáticas y Tecnología 
3.4. Función exponencial
 

¿Dónde aparece?

Una de las funciones elementales más interesantes es la función exponencial. En las tres situaciones  siguientes se presenta  de manera natural.
 
SITUACIÓN 1) Crecimiento de una población: Las amebas
Las amebas son seres unicelulares que se reproducen por bipartición. Si las condiciones del medio lo permiten se reproducen más o menos rápidamente. Supongamos que se pueden reproducir cada hora y que inicialmente hay una ameba, ¿cuántas habrá al cabo de 10 horas?.
 
SITUACIÓN 2) La tela de araña
Una araña teje su tela de manera que cada día la araña dobla la superficie de la tela. Si el primer día teje 1 dm². ¿Qué superficie habrá cubierto al cabo de 30 días?.
 
SITUACIÓN 3) El rumor
En las fiestas de una localidad el encargado de realizar unas actividades y que desea que asista mucho público, decide contar a dos personas lo interesante que es la actividad. Supongamos que cada 15 minutos dichas personas se lo cuentan a otras dos y así sucesivamente. ¿cuántos asistentes a las fiestas estarán enterados despues de 6 horas?.
 
Todas estas situaciones se corresponden con un  modelo exponencial. Su tabla de valores es la siguiente:
 
x 0 1 2 3 ... 7 8 9 10 ... x
y 1 2 4 8 ... 128 256 512 1024 ... 2x
Aunque en el tercer problema con esta tabla solamente averiguamos el número de personas que se enteran de nuevo.
 
Propiedades de la función y=ax
  • El dominio son los números reales y el recorrido son los reales positivos.
  • Es continua en todo el dominio
  • Si a>1 la función es creciente en todo su dominio
  • Si 0<a<1 la función es decreciente
  • Corta al eje OY en el punto (0,1)
 
 
Si pulsas en la gráfica sobre las flechas, podrás ver dibujadas las gráficas de las funciones exponenciales según los valores de la base.
Utiliza la gráfica para comprobar estas propiedades.
 Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
 
► Trata de resolver las situaciones anteriores si en lugar de duplicarse cada cierto tiempo se triplicaran.
 
 
 
 
 
Crecimiento exponencial

Son diversos los fenómenos en la naturaleza que tiene un comportamiento exponencial.
►En la economía para calcular el interés compuesto
C = C0 (1 + r / n)nt
►El periodo de semidesintegración de los átomos radiactivos.
R = R0 · e-kt
►El crecimiento o decrecimiento de la población humana
P = P0 × eit.
En el siglo XIX un teórico Thomas Malthus, pronosticó las dificultades que tendría la humanidad. Contrastó el distinto tipo de crecimiento de la población (geométrico o exponencial) y el aumento de alimentos (artimético)
 
Hay diversos acertijos matemáticos que se basan en el crecimiento exponencial
  • La recompensa por el invento del ajedrez
  • La recompensa de César